Несмотря на значительные успехи в квантовании калибровочных теорий, таких как теория Янга–Миллса и электродинамики, для широкого класса калибровочных систем отсутствует полное описание процедуры квантования. Такие системы естественным образом описываются в рамках предсимплектической геометрии, что делает актуальным развитие способов их квантования, в частности, деформационного подхода. Язык предсимплектической геометрии оказывается полезным и в классической теории поля особенно при описании симметрий и законов сохранения. При анализе алгебры Ли высших законов сохранения возникает контринтуитивный результат: алгебра Ли неабелевой теории — абелева. В решение этого парадокса помогает другая алгебраическая структура — алгебра Лейбница.
Доклад разделен на две части. В первой части обсуждается деформационное квантование предсимплектических, контактных и контактно-метрических многообразий. Будет показано, что для предсимплектических многообразий препятствия к квантованию могут быть описаны как некоторые нетривиальные классы когомологий. В случае контактных многообразий эти когомологии тривиальны, но препятствия возникают при попытке подъема классических наблюдаемых на квантовый уровень. Основным инструментом является метод Федосова [1], а материал доклада основан на серии работ [2, 3, 4].
Во второй части исследуются структура алгебры Ли и Лейбница на высших симметриях и законах сохранения в калибровочных теориях поля. Структура алгебры Лейбница иллюстрируется в моделях Янга–Миллса, эйнштейновской и унимодулярной гравитации. Анализ проводится в формализме вариационного трикомлпекса [5], а материал доклада основан на работе [6].
Литература:
[1] B. Fedosov, Deformation Quantization and Index Theory, vol. 9. Akademie-Verlag, Berlin (1996)
[2] N. D. Gorev, B. M. Elfimov and A. A. Sharapov, Deformation quantization of framed presymplectic manifolds, Theoret. and Math. Phys. 204 (2020), 1079–1092 https://doi.org/10.4213/tmf9907
[3] Elfimov, B.M., Sharapov, A.A.: Deformation quantization of contact manifolds. Lett. Math. Phys. 112(6), 124 (2022) https://arxiv.org/abs/2207.08916
[4] Elfimov B.M., Sharapov A.A.: Wick-type deformation quantization of contact metric manifolds // Letters in Mathematical Physics. 2024. Vol. 114. Art. num. 37. DOI: 10.1007/s11005-024-01787-y
[5] A. A. Sharapov.: Variational tricomplex of a local gauge system, lagrange structure and weak poisson bracket. International Journal of Modern Physics A, 30(25):1550152, September 2015.
[6] Elfimov B.M., Sharapov A.A. Lie and Leibniz algebras of lower-degree conservation laws // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2022. Vol. 55, № 6. Art. num. 065201. DOI: 10.1088/1751-8121/ac477d