Дворик Архимеда

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Изучение динамики вращательного движения твердого тела преследует следующую цель: познакомить учащихся с законами движения тел под действием моментов приложенных к ним сил. Для этого необходимо ввести понятие момента силы, момента импульса, момента инерции, изучить закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси.

Изучение вращательного движения твердого тела целесообразно начать с изучения движения материальной точки по окружности. В этом случае легко ввести понятие момента сил относительно оси вращения и получить уравнение вращательного движения. Необходимо заметить, что эта тема является трудной для усвоения, поэтому для лучшего понимания и запоминания главных соотношений рекомендуется проводить сопоставления с формулами для поступательного движения. Учащимся известно, что динамика поступательного движения изучает причины возникновения ускорения тел и позволяет вычислить их направления и величину. Второй закон Ньютона устанавливает зависимость величины и направления ускорения от действующей силы и массы тела. Динамика вращательного движения изучает причины появления углового ускорения. Основное уравнение вращательного движения устанавливает зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции тела.

Далее, рассматривая твердое тело как систему материальных точек, вращающихся по окружности, центры которых лежат на оси вращения твердого тела, легко получить уравнение движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Трудность решения уравнения состоит в необходимости вычисления момента инерции тела относительно его оси вращения. Если нет возможности ознакомить учащихся с методами вычисления моментов инерции, например, из-за их недостаточной математической подготовки, то можно без вывода дать значения моментов инерции таких тел как шар, диск. Как показывает опыт, учащиеся с трудом усваивают понятие о векторном характере угловой скорости, момента силы и момента импульса. Поэтому необходимо выделить возможно большее время для изучения этого раздела, рассмотреть большее число примеров и задач (или делать это на внеклассных занятиях).

Продолжая аналогию с поступательным движением, рассмотрите закон сохранения момента импульса. При изучении динамики поступательного движения отмечалось, что в результате действия силы изменяется импульс тела. При вращательном движении изменяется момент импульса под действием момента силы. Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса сохраняется.

Ранее отмечалось, что внутренние силы не могут изменять скорость поступательного движения центра масс системы тел. Если же под действием внутренних сил изменить расположение отдельных частей вращающегося тела, то сохраняется общий момент импульса, а угловая скорость системы изменяется. Для демонстрации этого эффекта можно воспользоваться установкой, в которой две шайбы надеваются на стержень, скрепленный с центробежной машиной. Шайбы соединены нитью (рис. 10). Вся система вращается с некоторой угловой скоростью. Когда нить пережигают, грузы разбегаются, момент инерции увеличивается, а угловая скорость уменьшается.

Вращательное движение представляет одно из наиболее общих и поразительных свойств Вселенной. Планеты и их спутники, звезды, вращающиеся вокруг своих осей, планеты, вращающиеся вокруг Солнца, вращающиеся двойные звезды, звезды и их спутники, вращающиеся вокруг центров своих галактик, многие галактики входят в состав вращающихся вихревых скоплений. В более простых случаях это смерчи, водовороты, вращение колес экипажей, вращение игрушечного волчка, вращение электронов в атомной модели Бора и т.д.

Какая причина заставляет все это вращаться? Начнем выяснение этого с простого случая: вращательного движения материальной точки. При движении материальной точки по окружности ее скорость может изменяться как по величине, так и по направлению. Поэтому ускорение точки целесообразно разложить на нормальное ускорение  и тангенциальное ускорение . Соответственно, уравнение движения можно спроецировать на направления этих ускорений где  – проекция силы, действующей на материальную точку, на направление, перпендикулярное к скорости, а  – проекция силы на направление скорости. Тангенциальное ускорение  можно выразить через угловое ускорение бетта. где R – радиус окружности, по которой движется точка. Поэтому второе уравнение можно записать в виде Обозначим угол между вектором силы , действующей на точку и направлением на центр окружности через альфа. Из рис. 4.4  видно, что где   – длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности на линию действия силы, называемая плечом силы.
С учетом этих соотношений получим, что Произведение  называется моментом силы относительно оси вращения. Уравнение движения (4.1) принимает вид
Необходимо учесть, что сила имеет направление и может как увеличивать угловую скорость, так и уменьшать. Условно можно принять, что одно из направлений движения точки, например против часовой стрелки, является положительным. Тогда момент силы можно считать положительным, если сила увеличивает скорость вращения в направлении против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположном случае.

Полученное уравнение движения (4.2) сходно с уравнением Ньютона : вместо силы в нем фигурирует ее момент относительно оси вращения, вместо ускорения  – угловое ускорение бетта, место массы заняла комбинация , зависящая не только от массы, но и от ее расположения относительно оси вращения. Эта комбинация  называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Момент инерции при вращательном движении играет ту же роль, что и масса при поступательном движении точки по прямой. Чем больше момент инерции, тем больший требуется момент силы, чтобы изменить угловую скорость. Значение момента инерции, как видим, определяется не только массой, радиальное положение массы даже более существенно, так как . Например, раскрутить камень, привязанный на длинной веревке, труднее, чем в случае короткой веревки.

С учетом момента инерции уравнение (4.2) примет вид
Аналогию с уравнением поступательного движения можно продолжить, если его записать в виде , где  – импульс точки. Так как угловое ускорение , а момент инерции материальной точки при движении по окружности не зависит от времени, уравнение вращательного движения материальной точки (4.3) можно записать в виде
Учитывая, что , можно записать . Выражение называется моментом импульса материальной точки относительно оси вращения. Таким образом, уравнение вращательного движения относительно неподвижной оси принимает вид
Хотя второй закон Ньютона для вращательного движения рассмотрен на примере материальной точки, тот же вид имеет уравнение вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси.

Абсолютно твердым телом можно считать тело, размеры и форму которого можно считать неизменными. Понятие абсолютно твердого тела является идеализацией реальных тел, так как все тела под действием приложенных сил в той или иной степени деформируются, то есть меняют форму и размеры. Однако, если деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать тело как абсолютно твердое. Такое тело можно разбить на отдельные достаточно малые элементы, которые можно было бы рассматривать как материальные точки. При вращении тела вокруг неподвижной оси все эти точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Для каждого элемента массой Dm можно записать уравнение вращательного движения (4.5), а затем все эти уравнения почленно сложить. При этом сумма моментов внутренних сил будет равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона эти силы равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны. В результате получится уравнение вида
После суммирования этих уравнений получится уравнение где  – момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения, а  – суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения.

Момент импульса . Здесь  – момент инерции отдельных элементов тела где  – масса отдельного элемента, а  – расстояние от этого элемента до оси вращения. Таким образом, момент инерции тела  зависит не только от массы тела, но и от распределения массы относительно оси вращения. Для абсолютно твердого тела момент инерции – постоянная величина, поэтому уравнение движения (4.4) можно записать в виде Чтобы повернуть бревно вокруг оси, используют рычаг. Чем больше длина рычага, тем меньшее усилие потребуется для его поворота
Чтобы облегчить поворот тяжелой детали, рабочий использует рычаг, позволяющий сообщить детали требуемое угловое ускорение за счет небольшого усилия
 

МЕХАНИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ

 
Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Из второго закона Ньютона следует, что, если векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело сохраняет свою скорость неизменной. В частности, если начальная скорость равна нулю, тело остается в покое. Условие, неизменности скорости тела можно записать в виде или в проекциях на оси координат
Очевидно, что тело может покоиться только по отношению к одной определенной системе координат. В статике изучают условия равновесия тел именно в такой системе. Необходимое условие равновесия можно получить также, рассмотрев движение центра масс системы материальных точек. Внутренние силы не влияют на движение центра масс. Ускорение центра масс определяется векторной суммой внешних сил. Но если эта сумма равна нулю, то ускорение центра масс , а, следовательно, скорость центра масс . Если в начальный момент , то центр масс тела остается в покое.

Таким образом, первое условие равновесия тел формулируется следующим образом: скорость тела не меняется, если сумма внешних сил, приложенных в каждой точке, равна нулю. Полученное условие покоя центра масс является необходимым (но недостаточным) условием равновесия твердого тела. Плавающий айсберг находится в состоянии равновесия, так как действующие на него силы тяжести и сила Архимеда равны по величине и противоположны по направлению, то есть выполняется условие .

Может быть так, что все силы, действующие на тело, уравновешены, тем не менее, тело будет ускоряться. Например, если приложить две равных и противоположно направленных силы (их называют парой сил) к центру масс колеса, то колесо будет покоиться, если его начальная скорость была равна нулю. Если же эти силы приложить к разным точкам, то колесо начнет вращаться. Это объясняется тем, что тело находится в равновесии, когда сумма всех сил равна нулю в каждой точке тела. Но если сумма внешних сил равна нулю, а сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, не равна нулю, то тело не будет находиться в равновесии, возможно, как в рассмотренном примере, вращательное движение. Таким образом, если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Чтобы получить второе условие равновесия, воспользуемся уравнением вращательного движения , где  – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения. Когда , то и бетта = 0, а значит угловая скорость тела не меняется  . Если в начальный момент w = 0, то тело и в дальнейшем не будет вращаться. Следовательно, вторым условием механического равновесия является требование равенства нулю алгебраической суммы моментов всех внешних сил
В общем случае произвольного числа внешних сил условия равновесия можно представить в следующем виде Эти условия необходимы и достаточны. Кабина с туристами находится в равновесии, то есть не совершает ни поступательного ни вращательного движения, так выполняются два условия равновесия Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие является устойчивым, если при малых смещениях тела из положения равновесия действующие на него силы и моменты сил стремятся вернуть тело в положение равновесия (рис.4.6 а). Равновесие неустойчиво, если действующие силы при этом уводят тело еще дальше от положения равновесия (рис.4.6 б). Если при малых смещениях тела действующие силы по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис.4.6 в). Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в безразличном состоянии равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия.
Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым (рис.4.7а). Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис.4.7б)

Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.
Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза, которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра высотой 55 м и радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Пиза́нская ба́шня получила известность благодаря тому, что она сильно наклонена. Башня «падает». Высота башни составляет 55,86 метров от земли на самой низкой стороне и 56,70 метров на самой высокой стороне. Её вес оценивается в 14700 тонн. Текущий наклон составляет около 5,5°. Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Полагали, что кривизна башни задумана зодчими изначально – ради демонстрации своего незаурядного умения. Но куда более вероятно другое: архитекторы знали, что строят на крайне ненадежном фундаменте, и потому заложили в конструкцию возможность легкого отклонения.

Когда  возникла реальная угроза обрушения башни, за нее взялись современные инженеры. Ее затянули в стальной корсет из 18 тросов, фундамент утяжелили свинцовыми блоками и параллельно укрепили грунт, закачивая под землю бетон. С помощью всех этих мер удалось уменьшить угол наклона падающей башни на полградуса. Специалисты говорят, что теперь она сможет простоять еще как минимум 300 лет. С точки зрения физики принятые меры означают, что условия равновесия башни стали более надежными.
  
Источник: Анохина И.Н., Нявро В.Ф. МЕХАНИКА // Методические рекомендации для преподавателей // Томск, 2007 г.